Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的右焦点是F，右顶点是A，虚轴的上端点是B，且

AB

•

AF

=-1，∠BAF=120°．
（1）求双曲线C的方程；
（2）过点P（0，4）的直线l交双曲线C于M、N两点，交x轴于点Q（点Q与双曲线C的顶点不重合），当

PQ

=λ1

OM

=λ2

ON

，且λ1+λ2=-

32

7

时，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由条件可知A，B，F的坐标根据

AB

•

AF

=-1和cosBAF=

AB • AF

| AB |•| AF |

联立求得a和c，进而求得b．双曲线方程可得．
（Ⅱ）设l的方程，M和N的坐标，依题意可得Q的坐标，根据

PQ

=λ1

OM

=λ2

ON

表示出x₁和y₁，把M代入双曲线方程整理后求得k，点Q的坐标可得．

解答：解：（Ⅰ）由条件知A（a，0），B（0，b）F（c，0）．

AB

•

AF

=(-a，b)•(c-a，0)=a(a-c)=-1．①
cosBAF=

AB • AF

| AB |•| AF |

=

a(a-c)

c(c-a)

=-

a

c

=cos120°=-

1

2

．∴c=2a．②
解①，②得a=1，c=2．则b²=c²-a²=3．
故双曲线C的方程为x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）由题意知直线l的斜率k存在且不等于零，
设l的方程为：y=kx+4，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则Q(-

4

k

，0)．
∴

PQ

=λ1

QM

．
∴(-

4

k

•-4)=λ1(x1+

4

k

，y1)．
∴

- 4 k =λ1(x1+ 4 k ) -4=λ1y1.

?

x1=- 4 kλ1 - 4 k y1=- 4 λ1

∵M（x₁，y₁）在双曲线C上，
∴

16

k2

(

1+λ1

λ1

)2-

16

3 λ 2 1

-1=0．
∴16+32λ1+16

λ

2 1

-

16

3

k2-k2λ2=0．
∴(16-k2)

λ

2 1

+32λ1+16-

16

3

k2=0．
同理(16-k2)

λ

2 2

+32λ2+16-

16

3

k2-0．
若16-k²=0，则直线l过项点，不合题意，∴16-k²≠0
∴λ1，λ2是二次方程(16-k2)x2+32x+16-

16

3

k2=0的两根
∴λ1+λ2=

32

k2-16

=-

32

7

．
∴k²=9，此时△＞0，∴k=±3．
∴所求Q点的坐标为(±

4

3

，0)．

点评：本题主要考查了双曲线的标准方程．考查了学生综合运用所学知识的能力．