题目内容

已知直线l：y=2x- $数学公式$ 与椭圆C： $数学公式$ +y²=1 （a＞1）交于P、Q两点，
（1）设PQ中点M（x₀，y₀），求证：x₀＜ $数学公式$ ；
（2）以PQ为直径的圆过椭圆C的右顶点A．求椭圆C的方程．

解：（1）证明：把y=2x- $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ +y²=1 （a＞1），
得： $\text{[math]}$ +（2x- $\text{[math]}$ ）²=1（a＞1），
整理，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
∵4a²+1＞4a²，
∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由题设知 $\text{[math]}$ ，
∴（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，
∵ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
由 $\text{[math]}$ ，
知 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
∵a＞1，
∴ $\text{[math]}$ ，故a= $\text{[math]}$ ．
∴椭圆C的方程 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）把y=2x- $\text{[math]}$ 代入 $\text{[math]}$ +y²=1 （a＞1），得 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，mh 4a²+1＞4a²，能够证明 $\text{[math]}$ ．
（2）由题设知 $\text{[math]}$ ，（x_p-a）（x_q-a）+y_py_q=0，所以 $\text{[math]}$ ，即 $\text{[math]}$ ，由a＞1，得 $\text{[math]}$ ，故a= $\text{[math]}$ ．由此能求出椭圆C的方程．
点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．