Question

已知函数f（x）=

1

2

x²+lnx
（1）求f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值；
（2）已知直线l：y=2x+a与函数f（x）的图象相切，求切点的坐标及a的值．

Answer 1

分析：（1）求出函数f（x）导数f′（x），判断出f′（x）=x+

1

x

＞0在区间[1，e]上恒成立，得到f（x）在区间[1，e]上递增，进一步求出f（x）在区间[1，e]上的最大值与最小值；
（2）令f′（x）=2求得x=1将x=1代入f（x）=

1

2

x²+lnx得到切点坐标为（1，

1

2

）；将切点坐标代入直线方程求得a的值

解答：解：（1）对函数f（x）求导数得：f′（x）=x+

1

x

；
因为f′（x）=x+

1

x

＞0在区间[1，e]上恒成立，
所以f（x）在区间[1，e]上递增，
所以当x=1时，f（x）有最小值为f（1）=

1

2

；当x=e时，f（x）有最大值f（e）=

1

2

e2+1．
（2）由题意得f′（x）=2即f′（x）=x+

1

x

=2解得x=1
将x=1代入f（x）=

1

2

x²+lnx得f（1）=

1

2

即切点坐标为（1，

1

2

）；
将切点坐标（1，

1

2

）代入直线l：y=2x+a得a=-

3

2

故切点坐标为（1，

1

2

）；a=-

3

2

点评：本题考查利用导函数的符号判断函数的单调性；考查函数在切点处的导数值为切线的斜率，属于中档题．