Question

已知直线l：y=2x+m和椭圆C：

x2

4

+y2=1．
（1）m为何值时，l和C相交、相切、相离；
（2）m为何值时，l被C所截线段长为

20

17

．

Answer 1

分析：（1）要判断m为何值时，l和C相交、相切、相离，只需）把y=2x+m代入

x2

4

+y2=1，判断△的范围即可．
（2）把y=2x+m代入

x2

4

+y2=1，求出x₁+x₂，和x₁．x₂，再用弦长公式计算即可．

解答：解：（1）把y=2x+m代入

x2

4

+y2=1可得17x²+16mx+4m²-4=0，△=16（17-m²）．
由△=0，可得m=±

17

．
所以，当m=±

17

时，l和C相切；
当-

17

＜m＜

17

时，l与C相离．
（2）设l与C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由（1）可得，x1+x2=-

16

17

m，x1x2=

4m2-4

17

．
因此，(x1-x2)2=

17×16-16m2

172

．
所以，由弦长公式得5×

17×16-16m2

172

=(

20

17

)2．
解得m=±2

3

．因此m=±2

3

时，l被C所截得线段长为

20

17

．

点评：本题考查了直线与椭圆的三种位置关系的判断，以及弦长公式的应用，属基础题型，必须掌握．