Question

11．已知椭圆C的两个焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0），且椭圆C经过点（-2，3）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）求椭圆C内接矩形面积的最大值及此时矩形的周长．

Answer 1

分析 （1）通过椭圆焦点坐标可知c=2，利用两点间距离公式及椭圆定义可知a=4，进而可得结论；
（2）通过设椭圆C内接矩形位于第一象限的顶点坐标为（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），根据椭圆的对称性及基本不等式可知椭圆C的内接矩形的面积的最大值，进而计算可得周长．

解答 解：（1）由椭圆焦点坐标可知c=2，
∵椭圆C经过点（-2，3），
∴由椭圆定义可知2a=$\sqrt{[-2-（-2）]^{2}+（0-3）^{2}}$+$\sqrt{[2-（-2）]^{2}+（0-3）^{2}}$=8，即a=4，
∴b²=a²-c²=12，
∴椭圆C的方程为：$\frac{{x}^{2}}{16}+\frac{{y}^{2}}{12}=1$；
（2）根据椭圆的对称性，椭圆C内接矩形的对称轴必为坐标轴，
设椭圆C内接矩形位于第一象限的顶点坐标为（x₀，y₀）（x₀＞0，y₀＞0），
记椭圆C的内接矩形的面积为S，
∵$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{16}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{12}=1$，
∴S=4x₀y₀=16$\sqrt{3}$•2•$\frac{{x}_{0}}{4}$•$\frac{{y}_{0}}{2\sqrt{3}}$≤16$\sqrt{3}$•[$（\frac{{x}_{0}}{4}）^{2}$+$（\frac{{y}_{0}}{2\sqrt{3}}）^{2}$]=$16\sqrt{3}$，
∴椭圆C的内接矩形面积的最大值为$16\sqrt{3}$，
此时$\frac{{x}_{0}}{4}$=$\frac{{y}_{0}}{2\sqrt{3}}$=$\frac{1}{\sqrt{2}}$，解得：x₀=$2\sqrt{2}$，y₀=$\sqrt{6}$，
∴矩形的周长为4（x₀+y₀）=$8\sqrt{2}+4\sqrt{6}$．

点评 本题考查椭圆的简单性质，涉及面积、周长公式，利用基本不等式是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．