Question

19．设函数f（x）=1+（1+a）x-x²-x³（a＞0）．
（1）讨论函数f（x）在定义域上的单调性；
（2）当x∈[0，1]时，求f（x）的最大值和最小值及取最值时x的值．

Answer 1

分析 （1）利用导数判断函数的单调性即可；
（2）利用（Ⅰ）的结论，讨论两根与1的大小关系，判断函数在[0，1]时的单调性，得出取最值时的x的取值．

解答 解：（1）f（x）的定义域为（-∞，+∞），f′（x）=1+a-2x-3x²，
由f′（x）=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，x₁＜x₂，
∴由f′（x）＜0得x＜$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，x＞$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
由f′（x）＞0得$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$＜x＜$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$；
故f（x）在（-∞，$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$）和（$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$，+∞）单调递减，
在（$\frac{-1-\sqrt{4+3a}}{3}$，$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$）上单调递增．
（2）∵a＞0，∴x₁＜0，x₂＞0，
①当a≥4时，x₂≥1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）在x=0和x=1处分别取得最小值和最大值．
②当0＜a＜4时，x₂＜1，由（Ⅰ）知，f（x）在[0，x₂]单调递增，在[x₂，1]上单调递减，
因此f（x）在x=x₂=$\frac{-1+\sqrt{4+3a}}{3}$处取得最大值，又f（0）=1，f（1）=a，
∴当0＜a＜1时，f（x）在x=1处取得最小值；
当a=1时，f（x）在x=0和x=1处取得最小值；
当1＜a＜4时，f（x）在x=0处取得最小值．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性及最值的知识，考查学生分类讨论思想的运用能力，属中档题．