Question

8．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+y²=1（a＞0）的焦点在x轴上，右顶点与上顶点分别为A，B，顶点在原点，分别以A，B为焦点的抛物线C₁，C₂交于点P（不同于O点），且以BP为直径的圆经过点A．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若与OP垂直的动直线l交椭圆C于M，N不同两点，求△OMN面积的最大值和此时直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）求出P的坐标，利用以BP为直径的圆经过点A，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，建立方程，求出a，即可求椭圆C的标准方程．
（2）设l的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t，代入椭圆方程，利用韦达定理，弦长公式，求出|MN|，求出O到直线l的距离，可得△OMN面积，利用基本不等式，即可求△OMN面积的最大值和此时直线l的方程．

解答 解：（1）由题意，A（a，0），B（0，1），
∴分别以A，B为焦点的抛物线C₁，C₂的方程分别为y²=4ax，x²=4y，
联立可得P（$4{a}^{\frac{1}{3}}$，$4{a}^{\frac{2}{3}}$），
∵以BP为直径的圆经过点A，
∴$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，
∴（$4{a}^{\frac{1}{3}}$-a，$4{a}^{\frac{2}{3}}$）•（-a，1）=0，
∴${a}^{\frac{4}{3}}$-$4{a}^{\frac{2}{3}}$+4=0，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴椭圆C的标准方程$\frac{{x}^{2}}{8}$+y²=1．
（2）由（1）P（4$\sqrt{2}$，8），k_OP=$\sqrt{2}$，∴k_l=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
设l的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+t
代入椭圆方程得得5y²-2ty+t²-4=0
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则y₁+y₂=$\frac{2t}{5}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{5}$，
∴|MN|=$\sqrt{1+2}•\sqrt{（\frac{2t}{5}）^{2}-4•\frac{{t}^{2}-4}{5}}$=$\frac{4\sqrt{3}}{5}$$\sqrt{5-{t}^{2}}$，
∵O到直线l的距离d=$\frac{|t|}{\sqrt{1+\frac{1}{2}}}$=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$|t|，
∴S_△OMN=$\frac{1}{2}$•$\frac{4\sqrt{3}}{5}$$\sqrt{5-{t}^{2}}$•$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$|t|=$\frac{\sqrt{2}}{5}$×2$\sqrt{{t}^{2}（5-{t}^{2}）}$≤$\frac{\sqrt{2}}{5}$×（t²+5-t²）=$\sqrt{2}$
当且仅当t²=5-t²，即t=±$\frac{\sqrt{10}}{2}$时，△OMN面积的最大值为$\sqrt{2}$，此时直线l的方程为y=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$x±$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

点评 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理、弦长公式，考查基本不等式的运用，属于中档题．