Question

如图，在平面直角坐标系中，、分别是椭圆的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于、两点，其中在第一象限．过作轴的垂线，垂足为．连接，并延长交椭圆于点．设直线的斜率为．

（Ⅰ）当直线平分线段时，求的值；
（Ⅱ）当时，求点到直线的距离；
（Ⅲ）对任意，求证：．

Answer 1

（Ⅰ）;（Ⅱ）;（Ⅲ）详见解析

试题分析：（Ⅰ）求出点、的中点坐标，再用斜率公式可求得的值；（Ⅱ）求出直线的方程，再用点到直线的距离公式可求得点到直线的距离；
（Ⅲ）思路一:圆锥曲线题型的一个基本处理方法是设而不求,其核心是利用 ----(*).要证明,只需证明它们的斜率之积为-1. 但直接求它们的积,不好用(*)式,此时需要考虑转化.
思路二:设,然后用表示出的坐标.这种方法要注意直线的方程应设为: ,若用点斜式,则运算量大为增加.
此类题极易在运算上出错,需倍加小心.
试题解析：（Ⅰ）由题设知: ,所以线段的中点为,
由于直线平分线段,故直线过线段的中点,又直线过坐标原点,
所以
（Ⅱ）将直线的方程代入椭圆方程得: ,因此
于是,由此得直线的方程为:
所以点到直线即的距离
（Ⅲ）法一:设,则
由题意得:
设直线的斜率分别为,因为在直线上,所以
从而,所以:

法二:
所以直线的方程为:  代入椭圆方程得:

由韦达定理得:
所以
,所以