Question

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）P(，±)，x±y－＝0.

试题分析：(Ⅰ) 先利用点到直线的距离公式求，再利用离心率求，最后利用参数的关系求；(Ⅱ)设点利用方程组消元后得根与系数关系，然后代入题中条件化简可求.
试题解析：(Ⅰ) 设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，
∴O到l的距离为，
由已知，得＝，∴c＝1．
由e＝＝，得a＝，b＝＝．              4分
（Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，
设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，则P(x₁＋x₂，y₁＋y₂)．
由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1．
由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1．
由，消去x并化简整理，得(2t²＋3)y²＋4ty－4＝0．
由韦达定理，得y₁＋y₂＝－，
∴x₁＋x₂＝ty₁＋1＋ty₂＋1＝t(y₁＋y₂)＋2＝－＋2＝，
∴P(，－)．
∵点P在C上，∴＋＝1，
化简整理，得4t⁴＋4t²－3＝0，即(2t²＋3)(2t²－1)＝0，解得t²＝．
当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0；
当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0．
故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0．  13分