Question

已知函数f（x）=x²+ax+b
（1）若-2≤a≤4，-2≤b≤4，且a∈Z，b∈Z，求方程f（x）=0无实根的概率；
（2）若|a|≤1，|b|≤1，求方程f（x）=

1

4

b²+b-

1

4

无实根的概率．

Answer 1

考点：几何概型,古典概型及其概率计算公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（1）由题意分析可得，这是古典概型，由-2≤a≤4，-2≤b≤4，且a∈Z，b∈Z，易得一共可以得到49个不同方程，满足满足方程f（x）=0无实根有20个，结合古典概型公式，计算可得答案；
（2）由题意分析可得，这是几何概型，满足条件|a|≤1，|b|≤1，其构成的区域面积为4，进而可得f（x）=

1

4

b²+b-

1

4

无实根的条件是a²+b²＜1，其构成的区域面积为π，由几何概型公式，计算可得答案．

解答： 解：（1）满足条件的方程共有49个…（1分）
方程f（x）=0无实根的条件是a²-4b＜0…（2分）
a=-2时b=2，3，4
a=-1时b=1，2，3，4
a=0时b=1，2，3，4
a=1时b=1，2，3，4
a=2时b=2，3，4
a=3时b=3，4
所以满足方程f（x）=0无实根有20个…（5分）
故方程f（x）=0无实根的概率是

20

49

…（6分）
（2）Ω满足条件|a|≤1，|b|≤1，其构成的区域面积为4…（8分）
f（x）=

1

4

b²+b-

1

4

无实根的条件是a²+b²＜1，其构成的区域面积为π…（11分）
故f（x）=

1

4

b²+b-

1

4

无实根的概率为P=

π

4

…（12分）

点评：本题考查几何概型和古典概型，放在一起的目的是把两种概型加以比较，注意两者的不同．