Question

已知直线l：（2+m）x+（1+2m）y+4-3m=0．
（1）求证：不论m为何实数，直线l恒过一定点M；
（2）过定点M作一条直线l₁，使夹在两坐标轴之间的线段被M点平分，求直线l₁的方程．

Answer 1

考点：恒过定点的直线

专题：直线与圆

分析：（1）将直线的方程：（2+m）x+（1+2m）y+4-3m=0是过某两直线交点的直线系，故其一定通过某个定点，将其整理成直线系的标准形式，求两定直线的交点此点即为直线恒过的定点．
（2）当斜率不存在时，不合题意；当斜率存在时，设所求的直线方程为y-

10

3

=k（x+

11

3

），列出方程，进而得出交点．

解答： 解：（1）证明：∵m（x+2y-3）+2x+y+4=0，
∴由题意得

x+2y-3=0 2x+y+4=0

∴直线l恒过定点M（-

11

3

，

10

3

）．
（2）解：设所求直线l₁的方程为y-

10

3

=k（x+

11

3

），直线l₁与x轴、y轴交于A、B两点，则A（-

10

3k

-

11

2

，0）B（0，

10

3

+

11k

3

）．
∵AB的中点为M，∴

- 10 3k - 11 3 =- 22 3 10 3 + 11k 3 = 20 3

解得k=

10

11

．
∴所求直线l₁的方程为y-

10

3

=

10

11

（x+

11

3

），
即：10x-11y+77=0．
所求直线l₁的方程为10x-11y+77=0．

点评：本题给出动直线恒过定点，要我们求直线恒过的定点坐标，中点的坐标，着重考查了直线的方程及点与直线位置关系等知识，属于基础题．