Question

设a∈R，若x≥

1

2

时均有[（a-1）x-1]（x²-ax-1）≥0，则a=

 

．

Answer 1

考点：其他不等式的解法

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：构造函数y₁=（a-1）x-1，y₂=x ²-ax-1，它们都过定点P（0，-1），确定1＜a≤3，函数y₂=x ²-ax-1过点M（

1

a-1

，0），即可得到结论．

解答： 解：构造函数y₁=（a-1）x-1，y₂=x ²-ax-1，它们都过定点P（0，-1）．
考查函数y₁=（a-1）x-1，令y₁=0，得M（

1

a-1

，0），
由

1

a-1

≥

1

2

，则1＜a≤3；
考查函数y₂=x ²-ax-1，显然过点M（

1

a-1

，0），代入得：

1

(a-1)2

-

a

a-1

-1=0，
解之得：a=

3

2

，或a=0（舍去）．
故答案为：

3

2

．

点评：本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是构造函数，利用函数的性质求解，考查运算能力，属于中档题．