题目内容
已知O是△ABC的外心，AB=6，AC=10，若
=x
+y
，且2x+10y=5，则△ABC的面积为（ ）
| AO |
| AB |
| AC |
| A、24 | ||||
B、
| ||||
C、18或
| ||||
D、24或20
|
考点：向量在几何中的应用
专题：平面向量及应用
分析：取AC中点为D，则OD⊥AC，把写为
=
+
，然后用两种方法写出，由数量积相等结合2x+10y=5，需要分类讨论，当x≠0求得cos∠BAC，进一步得到其正弦值，代入三角形的面积公式求得三角形ABC的面积，当x=0时，得到三角形为直角三角形，求出面积，问题得以解决
| AO |
| AD |
| DO |
解答：
解：取AC的中点，则OD⊥AC，
⊥
如图所示∵
=
+
，
∴
•
=
•
+
•
=|
|•|
|COS0=5×10=50，
∵
=x
+y
，
∴
•
=（x
+y
）•
=x
•
+y|
|2=x|
||
|cos∠BAC+y|
|2=60x•cos∠BAC+100y，
∴60x•cos∠BAC+100y=50
∵2x+10y=5，
∴60xcos∠BAC=20x，
当x≠0时，
∴cos∠BAC=
，
∴sin∠BAC=
，
∴S△ABC=
AB•AC•sin∠BAC=
×6×10×
=20
当x=0时，则y=
，
∴
=0
+
，
∴
=
，
∴点A，0，C共线，
∴即点O为AC的中点，
∴三角形ABC以B为直角的直角三角形，
∴BC=
=
=8，
∴S△ABC=
AB•BC=
×6×8=24
故选：D
解：取AC的中点，则OD⊥AC，| DO |
. |
| AC |
如图所示∵
| AO |
| AD |
| DO |
∴
| AO |
| AC |
| AD |
| AC |
| DO |
| AC |
| AD |
| AC |
∵
| AO |
| AB |
| AC |
∴
| AO |
| AC |
| AB |
| AC |
| AC |
| AB |
| AC |
| AC |
| AB |
| AC |
| AC |
∴60x•cos∠BAC+100y=50
∵2x+10y=5，
∴60xcos∠BAC=20x，
当x≠0时，
∴cos∠BAC=
| 1 |
| 3 |
∴sin∠BAC=
2
| ||
| 3 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
2
| ||
| 3 |
| 2 |
当x=0时，则y=
| 1 |
| 2 |
∴
| AO |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AC |
∴
| AO |
| 1 |
| 2 |
| AC |
∴点A，0，C共线，
∴即点O为AC的中点，
∴三角形ABC以B为直角的直角三角形，
∴BC=
| AC2-AB2 |
| 102-62 |
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
故选：D
点评：本题考查了向量在几何中的应用，考查了平面向量的数量积运算，考查了三角形面积公式的应用，是中档题．
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| ||
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