Question

（本小题满分14分）某房地产开发商投资81万元建一座写字楼，第一年装修费为1万元，以后每年增加2万元，把写字楼出租，每年收入租金30万元．

（Ⅰ）若扣除投资和各种装修费，则从第几年开始获取纯利润？

（Ⅱ）若干年后开发商为了投资其他项目，有两种处理方案：①年平均利润最大时以46万元出售该楼; ②纯利润总和最大时，以10万元出售该楼，问哪种方案盈利更多？

Answer 1

（1）4（2）方案①

【解析】

试题分析：构造数学模型，将实际问题转化为数学问题。（1）利润=收入-投资，收入= ，每年装修费为一个以 为首项， 为公差的等差数列，所以 年装修费为，所以利润当利润大于零时，即 开始获纯利润。（2）年平均利润为，利用基本不等式可知，当 时，取最大值 ，此种方案利润：；纯利润，利用二次函数的最值，可知当 时 ，此种方案利润为 ，两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①

试题解析：（Ⅰ）设第 年获取利润为 万元， 年共收入租金万元，付出装修费构成一个以 为首项， 为公差的等差数列，共 2分

因此利润， 4分

令

解得： 6分

所以从第4年开始获取纯利润． 7分

（Ⅱ）年平均利润 9分

（当且仅当，即 时取等号）

所以 年后共获利润：（万元） 11分

利润

所以 年后共获利润：（万元） 13分

两种方案获利一样多，而方案①时间比较短，所以选择方案①

考点：数学建模的能力，利用基本不等式求最值，二次函数的最值