Question

数列{a_n}各项均为正数，S_n为其前n项的和．对于n∈N^*，总有a_n，S_n，a_n²成等差数列．
（1）求数列{a_n}的通项a_n；
（2）设数列{

1

an

}的前n项和为T_n，数列{T_n}的前n项和为R_n，求证：当n≥2，n∈N时，R_n-1=n（T_n-1）；
（3）若函数f(x)=

1

(p-1)•3qx+1

的定义域为R_n，并且

lim

n→∞

f(an)=0(n∈N*)，求证p+q＞1．

Answer 1

（1）由已知n∈N^*时，2S_n=a_n+a_n²总成立．∴2S_n-1=a_n-1+a_n-1²（n≥2），
两式作差，得2a_n=a_n+a_n²-a_n-1-a_n-1²，∴a_n+a_n-1=（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1），∵a_n、a_n-1均为正数．∴a_n-a_n-1=1（n≥2）．∴{a_n}是公差为1的等差数列．
又n=1时，2S₁=2a₁=a₁+a₁²，得a₁=1，故a_n=n．…（4分）
（2）下面用数学归纳法证明：
①当n=2时，R1=T1=

1

a1

=1，2(T2-1)=2(

1

a1

+

1

a2

-1)=1．∴n=2时，等式成立
②假设当n=k（k≥2）时，

Rk=Rk-1+Tk=k(Tk-1)+Tk=(k+1)Tk-k=(k+1)(Tk+1- 1 ak+1 )-k =(k+1)(Tk+1- 1 k+1 )-k=(k+1)(Tk+1-1+1- 1 k+1 )-k=(k+1)(Tk+1-1). 当n=k+1时，等式也成立.

综合①和②，可知所要证明的等式成立．…（10分）
（3）如果q=0，则f(x)=

1

p

，

lim

n→∞

f(an)不是0，∴q≠0，∵f（x）定义域为R，
∴(p-1)•3qx+1≠0恒成立．即p-1≠-(

1

3q

)x恒成立．由于q≠0时，-(

1

3q

)x的值域为（-∞，0），
∴p-1≥0，又当p=1时，f（x）=1.

lim

n→∞

f(an)≠0，
∴p＞1．
∵

lim

n→∞

f(an)=

lim

n→∞

1

(p-1)•3qn+1

=

1 0＜3q＜1 1 p 3q=1 ，， left 0&3q ＞ 1

∴3^q＞1，∴q＞0，故p+q＞1…16分