Question

（2013•成都一模）已知函数f（x）=

2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2（a＞0），给出下列结论：
①函数f（x）的值域为[0，

2

3

]；
②函数g（x）在[0，1]上是增函数；
③对任意a＞0，方程f（x）=g（x）在[0，1]内恒有解；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则实数a的取值范围是

4

9

≤a≤

4

5

．
其中所有正确结论的序号是

①②④

．

Answer 1

分析：①由于f（x）=

2x2 x+2 ，x∈( 1 2 ，1] - 1 2 x+ 1 4 ，x∈[0， 1 2 ]

，当

1

2

＜x≤1时，f（x）=2[（x+2）+

4

x+2

]-8，利用双钩型函数h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上单调递增，可求f（x）的值域为（

1

5

，

2

3

]；当x∈[0，

1

2

]时，利用f（x）=-

1

2

x+

1

4

为减函数，可求f（x）的值域为[0，

1

4

]，从而可判断①的正误；
对于②，可求g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），由0≤x≤1，可判断y=-cosx在[0，

π

3

]上单调递增，而a＞0，从而可判断函数g（x）在[0，1]上是增函数；
对于③，由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a，不妨令a=10，可求得g（x）∈（-28，-23），从而可判断③错误；
对于④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，则0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，从而可求得a的范围，可判断其正误．

解答：解：∵

1

2

＜x≤1时，f（x）=

2x2

x+2

=

2[(x+2)-2]2

x+2

=2[（x+2）+

4

x+2

]-8
而

5

2

＜x+2≤3，令z=x+2，则z∈（

5

2

，3]，
双钩型函数h（z）=2（z+

4

z

）-8在z∈（

5

2

，3]上单调递增，
∴h（

5

2

）=

41

5

-8=

1

5

，h（z）_max=h（3）=

2

3

，
∴当x∈（

1

2

，1）时，f（x）的值域为（

1

5

，

2

3

]；
当x∈[0，

1

2

]时，f（x）=-

1

2

x+

1

4

为减函数，f（x）的值域为[0，

1

4

]；
∴函数f（x）的值域为[0，

2

3

]，故①正确；
对于②，g（x）=asin（

π

3

x+

3π

2

）-2a+2=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0），
∵0≤x≤1，
∴0≤

π

3

x≤

π

3

，
∵y=cosx在[0，

π

3

]上单调递减，
∴y=-cosx在[0，

π

3

]上单调递增，又a＞0，
∴g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）在[0，1]上是增函数，故②正确；
对于③，由g（x）=-acos

π

3

x-2a+2（a＞0）知，
当0≤x≤1时，0≤

π

3

x≤

π

3

，

1

2

≤cos

π

3

x≤1，又a＞0，
∴-a≤-acos

π

3

x≤-

a

2

，
∴2-3a≤-acos

π

3

x-2a+2≤2-

5

2

a．
不妨令a=10，g（x）∈（-28，-23），而f（x）的值域为[0，

2

3

]，显然f（x）≠g（x），故③错误；
④若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得f（x₁）=g（x₂）成立，
则0≤2-3a≤

2

3

或0≤2-

5

2

a≤

2

3

，
解得

4

9

≤a≤

2

3

或

8

15

≤a≤

4

5

，由于

8

15

＜

2

3

，
∴[

4

9

，

2

3

]∪[

8

15

，

4

5

]=[

4

9

，

4

5

]．
故④正确．
故答案为：①②④．

点评：本题考查复合三角函数的单调性，考查函数的值域，考查三角函数的诱导公式及综合应用，属于难题．