Question

（2013•成都一模）如图，矩形 ABCD 中，BC=2，AB=1，PA丄平面 ABCD，BE∥PA，BE=

1

2

PA，F 为PA的中点．
（I）求证：DF∥平面PEC
（II）记四棱锥C一PABE的体积为V₁，三棱锥P-ACD的 体积为V₂，求

V1

V2

的值．

Answer 1

分析：（I）连接EF，要证DF∥平面PEC，只需证明DF∥EC，问题可转化为证明四边形CDEF为平行四边形；
（II）三棱锥P-ACD的 体积为V₂等于三棱锥P-ABC的体积，四棱锥C一PABE的体积为V₁，可分为两三棱锥C-PAB的体积和三棱锥C-PEB的体积和，而两三棱锥体积关系易找，从而可得答案．

解答：（I）证明：连接EF，由已知，BE∥AF，BE=AF，
又PA⊥平面ABCD，∴四边形ABEF为矩形，
∴EF∥AB，EF=AB，
又矩形ABCD中，AB∥CD，AB=CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四边形CDFE为平行四边形，则DF∥EC，
又DF?平面PEC，EC?平面PEC，∴DF∥平面PEC．
（II）解：∵三棱锥P-ACD与三棱锥P-ABC的体积相等，即V₂=V_P-ABC，
∵三棱锥P-ABC的体积，即为三棱锥C-PAB的体积，
△PAB的面积为△PEB面积的2倍，
∴三棱锥C-PAB的体积为C-PEB的体积的2倍，即V_C-PEB=

1

2

V₂，
所以四棱锥C-PABE的体积V₁=V₂+V_C-PEB=

3

2

V2，
∴

V1

V2

=

3

2

．

点评：本题考查线面平行的判定及棱柱、棱锥、棱台体积的计算，考查学生推理论证能力及对问题的转化能力．