Question

已知圆C经过点，且圆心在直线上，且，又直线与圆Ｃ相交于、两点.

（I）求圆Ｃ的方程；

（II）若，求实数的值；

（III）过点作直线与垂直，且直线与圆Ｃ交于两点,求四边形面积的最大值.

Answer 1

（Ⅰ）    （Ⅱ）（III）

解析:

(I)设圆心半径为. 因为圆经过点        

所以，解得 ，              …………………2分

      所以圆的方程是 .                      …………………4分

     (II)方法一：

因为,               …………………6分

      所以, ,                …………………7分

所以圆心到直线的距离,           …………………8分

      又，所以.                         …………………9分

     方法二：设,

因为，代入消元得.   …………………6分

由题意得：                …………………7分

因为=，                    

       又,

所以,  =,     …………………8分

化简得: ，

所以 即.                               …………………9分

(III)方法一：

设圆心到直线的距离分别为，四边形的面积为.        

因为直线都经过点，且，

根据勾股定理，有,                       …………………10分

又根据垂径定理和勾股定理得到，,

                                                    ………………11分

而，即

…………13分

当且仅当时，等号成立，所以的最大值为.      ………………14分

方法二：设四边形的面积为.

当直线的斜率时，则的斜率不存在，

此时.                            …………………10分

当直线的斜率时，

设

则  ，代入消元得

所以

同理得到.

                                                  ………………11分

         ………………12分

因为，

所以 ,                      ………………13分

当且仅当时，等号成立,所以的最大值为.