Question

已知圆C经过点A（-2，0），B（0，2），且圆心C在直线y=x上，又直线l：y=kx+1与圆C相交于P、Q两点．
（1）求圆C的方程；
（2）若

OP

.

OQ

=-2，求实数k的值．

Answer 1

分析：（1）圆心在直线y=x上，设圆C（a，a）半径r，|AC|=|BC|=r，求得a，r，得到圆C的方程．
（2）

OP

.

OQ

=-2可求得∠POQ，进而求出圆心到直l：kx-y+1=0的距离，再去求k．

解答：解：（I）设圆C（a，a）半径r．因为圆经过A（-2，0），B（0，2）
所以：|AC|=|BC|=r，解得a=0，r=2，
所以C的方程x²+y²=4．
（II）方法一：
因为，

OP

•

OQ

=2×2cos＜

OP

， 

OQ

＞=-2，
所以，COS∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圆心到直l：kx-y+1=0的距离d=1，d=

1

k2+1

，所以 k=0．
方法二：P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），因

y=kx+1 x2+y2=4

，代入消元（1+k²）x²+2kx-3=0．
由题意得△=4k²-4（1+k²）（-3）＞0且x1+x2 =

-2k

1+k2

和x1•x2=

-3

1+k2

因为

OP

•

OQ

=x1•x2+y1•y2=-2，
又y₁•y₂=（kx₁+1）（kx₂+1）=k²x₁x₂+k（x₁+x₂）+1，
所以x1•x2+y1•y2=

-3

1+k2

+

-3k2

1+k2

+

-2k2

1+k2

+1=-2，
化简得：-5k²-3+3（k²+1）=0，
所以：k²=0即k=0．

点评：本题考查求圆的方程的常用方法，（II）中用向量的数量积，求角，解三角形，点到直线的距离等知识．是中档题．