Question

已知圆C经过点P₁（1，0），P₂（1，2），P₃（2，1），斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点．点G为弦MN的中点．
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）当

OC

•

OG

取得最大值时，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（I）设椭圆的一般式方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0，将P₁、P₂、P₃的坐标代入解出D=-2，E=-2且F=1，即可得到圆C的一般式方程，再化成标准形式即可；
（II）设直线l方程为y=kx，与圆C消去y得关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系化简算出点G（

(1+k)

1+k2

，

k(1+k)

1+k2

），结合

OC

=(1，1)算出

OC

•

OG

=1+

2

k+ 1 k

，再用基本不等式求最值即可得到当k=1时，

OC

•

OG

取得最大值，此时直线l的方程为y=x．

解答：解：（Ⅰ）设圆C的方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）（1分）
则

1+D+F=0 1+4+D+2E+F=0 4+1+2D+E+F=0

，解得

D=-2 E=-2 F=1

∴圆C的方程x²+y²-2x-2y+1=0，化成标准形式得（x-1）²+（y-1）²=（15分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0

，消y得（1+k²）x²-2（k+1）x+1=0（7分）
由题意得△=4（1+k）²-4（1+k²）＞0，解出k＞0（8分）
x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，即x0=

(1+k)

1+k2

，y0=

k(1+k)

1+k2

∴点G(

(1+k)

1+k2

，

k(1+k)

1+k2

)
又∵

OC

=(1，1)（9分）
∴

OC

•

OG

=

k+1

k2+1

+

k2+k

k2+1

=

k2+2k+1

k2+1

=1+

2k

k2+1

=1+

2

k+ 1 k

∵

2

k+ 1 k

≤

2

2 k• 1 k

=1，∴

OC

•

OG

=1+

2

k+ 1 k

≤2（13分）
因此，可得当k=

1

k

即k=1时，

OC

•

OG

取得最大值是2（13分）
此时直线l的方程为y=x（14分）

点评：本题给出经过三个点的圆，求圆的标准方程并研究向量数量积的最值问题，着重考查了向量数量积的坐标运算、圆的方程和直线与圆的位置关系等知识，属于中档题．