Question

19．正方形的四个顶点都在函数y=x³+mx的图象上，若满足条件的正方形只有一个，则实数m=-2$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx，则其斜率唯一确定，转化为二元方程只有唯一实数根，利用根的判别式求解即可．

解答 解：设正方形ABCD对角线AC所在的直线方程为y=kx（k≠0），
则对角线BD所在的直线方程为y=-$\frac{1}{k}$x．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{y={x}^{3}+mx}\end{array}\right.$，解得x²=k-m，
所以AO²=x²+y²=（1+k²）x²=（1+k²）•（k-m），
同理，BO²=[1+（-$\frac{1}{k}$）²]•（-$\frac{1}{k}$-m）=-$\frac{1+{k}^{2}}{{k}^{2}}$•（$\frac{1}{k}$+m），
又因为AO²=BO²，所以k³-k²m+$\frac{1}{k}$+m=0．
即k²+$\frac{1}{{k}^{2}}$-m（k-$\frac{1}{k}$）=0，即（k-$\frac{1}{k}$）²-m（k-$\frac{1}{k}$）+2=0．
令k-$\frac{1}{k}$=t得t²-mt+2=0
因为正方形ABCD唯一确定，则对角线AC与BD唯一确定，
于是k-$\frac{1}{k}$值唯一确定，
所以关于t的方程t²-mt+2=0有且只有一个实数根，
又k-$\frac{1}{k}$=t∈R．
所以△=m²-8=0，即m=±2$\sqrt{2}$．
因为x²=k-m＞0，所以m＜k；
又-$\frac{1}{k}$-m＞0，所以m＜-$\frac{1}{k}$，故m＜0．
因此m=-2$\sqrt{2}$；
反过来m=-2$\sqrt{2}$时，t=-$\sqrt{2}$，k-$\frac{1}{k}$=-$\sqrt{2}$，
于是k=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{1}{k}$=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$；
或k=$\frac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2}$，-$\frac{1}{k}$=$\frac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．
于是正方形ABCD唯一确定．
故答案为：-2$\sqrt{2}$．

点评 本题主要考查函数的解析式的求法以及导数，单调性，不等式等基础知识，考查综合利用数学知识分析问题、解决问题的能力．