Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分别为PC、PB的中点.

(Ⅰ)求证：PB⊥DM;

(Ⅱ)求BD与平面ADMN所成的角。

Answer 1

解：方法一：

（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB,

所以AN⊥PB. 

因为AD⊥面PAB,

所以AD⊥PB.

从而PB⊥平面ADMN.

所以PB⊥DM.

（Ⅱ）连结DN，

因为PB⊥平面ADMN，

所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角.

在中, ，

故BD与平面ADMN所成的角是.

方法二：

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系,设BC=1，则

（Ⅰ）因为=0

                   

所以PB⊥DM .

（Ⅱ）因为=0

                  

所以PB⊥AD.

又PB⊥DM.

因此的余角即是BD与平面ADMN.

所成的角.

因为

所以

因此BD与平面ADMN所成的角为.