Question

7．“开门大吉”是某电视台推出的游戏节目．选手面对1～8号8扇大门，依次按响门上的门铃，门铃会播放一段音乐（将一首经典流行歌曲以单音色旋律的方式演绎），选手需正确答出这首歌的名字，方可获得该扇门对应的家庭梦想基金．在一次场外调查中，发现参赛选手大多在以下两个年龄段：21～30，31～40（单位：岁），统计这两个年龄段选手答对歌曲名称与否的人数如图所示．
（1）写出2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为答对歌曲名称与否和年龄有关，说明你的理由．（下面的临界值表供参考）

P（K2≥k0）	0.1	0.05	0.01	0.005
k0	2.706	3.841	6.635	7.879

（2）在统计过的参考选手中按年龄段分层选取9名选手，并抽取3名幸运选手，求3名幸运选手中在21～30岁年龄段的人数的分布列和数学期望．
（参考公式：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d）

Answer 1

分析 （1）根据所给的二维条形图得到列联表，利用公式求出k²=3＞2.706，即可得出结论．
（2）设3名选手中在20～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3，求出概率，列出分布列，求解期望即可．

解答 解：（1）2×2列联表

	正确	错误	合计
21～30	10	30	40
31～40	10	70	80
合计	20	100	120

∴K²=$\frac{120（70×10-30×10）^{2}}{20×100×40×80}$=3＞2.706
有90%的把握认为猜对歌曲名称与否和年龄有关．------（4分）
（2）按照分层抽样方法可知：21～30（岁）抽取3人，31～40（岁）抽取6人．
设3名选手中在21～30岁之间的人数为ξ，可能取值为0，1，2，3----（5分）
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{5}{21}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{3}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{15}{28}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{3}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{3}{14}$，P（ξ=3）=$\frac{{C}_{3}^{3}}{{C}_{9}^{3}}$=$\frac{1}{84}$．-----（10分）
ξD的分布列

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{5}{21}$	$\frac{15}{28}$	$\frac{3}{14}$	$\frac{1}{84}$

--------------------（11分）
E（ξ）=0×$\frac{5}{21}$+1×$\frac{15}{28}$+2×$\frac{3}{14}$+3×$\frac{1}{84}$=1------（12分）

点评 本题考查对立检验的应用，离散型随机变量的分布列以及期望的求法，考查计算能力．