Question

16．若函数y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]），函数y₂=x₂+$\sqrt{3}$，则（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值为（　　）

• A． $\frac{（5π-6\sqrt{3}）^{2}}{18}$
• B． $\frac{（5π+6\sqrt{3}）^{2}}{18}$
• C． $\frac{{π}^{2}}{18}$
• D． $\frac{{π}^{2}}{9}$

Answer 1

分析 根据平移切线法，求出和直线y=x+$\sqrt{3}$平行的切线方程或切点，利用点到直线的距离公式即可得到结论．

解答 解：设z=（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）²，则z的几何意义是两条曲线上动点之间的距离的平方．
求导函数y₁=2sinx₁（x₁∈[0，2π]），
${{y}_{1}}^{′}$=2cosx₁（x₁∈[0，2π]），
已知直线y₂=x₂+$\sqrt{3}$的斜率k=1，
令${{y}_{1}}^{′}$=2cosx₁=1，即cosx=$\frac{1}{2}$，
解得x=$\frac{π}{3}$，此时y=$\sqrt{3}$
即函数在（$\frac{π}{3}$，$\sqrt{3}$）处的切线和直线y=x+$\sqrt{3}$平行，
则最短距离d=$\frac{|\frac{π}{3}|}{\sqrt{2}}$，
∴（x₁-x₂）²+（y₁-y₂）² 的最小值d²=（$\frac{|\frac{π}{3}|}{\sqrt{2}}$）²=$\frac{{π}^{2}}{18}$
故选：C

点评 本题考查导数的综合应用，利用平移切线法求直线和正弦函数距离的最小值是解决本题的关键．