Question

14．已知圆C的方程为：x²+y²-2x-4y+m=0．
（1）求m的取值范围；
（2）若圆C与直线3x+4y-6=0交于M、N两点，且|MN|=2$\sqrt{3}$，求m的值；
（3）设直线x-y-1=0与圆C交于A、B两点，是否存在实数m，使得以AB为直径的圆过原点，若存在，求出实数m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，由求出当m＜5时，曲线C表示圆；
（2）由已知条件推导出圆心C（1，2），半径r=$\sqrt{5-m}$，由此利用点到直线的距离公式及弦长公式，结合已知条件能求出m=1；
（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+m=0}\end{array}\right.$，得2x²-8x+5+m=0，由此能求出存在实数m使得以AB为直径的圆过原点．

解答 解：（1）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
由D²+E²-4F=4+16-4m=20-4m＞0，得m＜5，
∴当m＜5时，曲线C表示圆；
（2）∵x²+y²-2x-4y+m=0，
∴（x-1）²+（y-2）²=5-m，
∴圆心C（1，2），半径r=$\sqrt{5-m}$，
∵圆心C（1，2）到直线3x+4y-6=0的距离d=$\frac{|3+8-6|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=1，
又|MN|=2$\sqrt{3}$，由r²=d²+3，即5-m=1+3，
解得m=1；
（3）假设存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，则OA⊥OB，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁x₂+y₁y₂=0，
由$\left\{\begin{array}{l}{x-y-1=0}\\{{x}^{2}+{y}^{2}-2x-4y+m=0}\end{array}\right.$，
得2x²-8x+5+m=0，
∴△=64-8（m+5）=24-8m＞0，即m＜3，又由（1）知m＜5，
故m＜3，x₁+x₂=4，x₁x₂=$\frac{5+m}{2}$，
∴y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1=$\frac{m+5}{2}$-4+1=$\frac{m-1}{2}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=$\frac{5+m}{2}$+$\frac{m-1}{2}$=m+2=0，
∴m=-2＜3，
故存在实数m使得以AB为直径的圆过原点，m=-2．

点评 本题考查方程表示圆时实数m的取值范围的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，考查满足条件的实数是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式的合理运用．