Question

已知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=S_n+（n+1）（n∈N^*），其中S_n为{a_n}的前n项和，
（1）用a_n表示a_n+1；
（2）证明数列{a_n+1}是等比数列；
（3）求a_n和S_n．

Answer 1

分析：（1）由已知得出a_n+1=S_n+（n+1）当n≥2时，a_n=S_n-1+n，两式相减并整理、得出a_n+1=2a_n+1．（n≥2），并对n=1单独验证．
（2）在a_n+1=2a_n+1两边同时加上1得出a_n+1+1=2（a_n+1），可以判定{a_n+1}是等比数列
（3）通过求出数列{a_n+1} 的通项公式得出数列{a_n}的通项公式，再求和即可．

解答：解：（1）由a_n+1=S_n+（n+1）①
得出n≥2时
 a_n=S_n-1+n ②
①-②得出
a_n+1-a_n=a_n+1
整理a_n+1=2a_n+1．（n≥2）
由在①中令n=1得出a₂=a₁+2=3，满足a₂=2a₁+1
所以a_n+1=2a_n+1．（n≥1）
 （2）在a_n+1=2a_n+1两边同时加上1得出
a_n+1+1=2（a_n+1）
根据等比数列的定义，得出数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列
（3）由（2）数列{a_n+1} 的通项公式为a_n+1=2•2 ^n-1=2ⁿ
所以a_n=2ⁿ-1，
S_n=（2¹-1）+（2²-1）+…（2ⁿ-1）
=

2(1-2n)

1-2

-n
=2 ⁿ⁺¹-2-n．

点评：本题考查等比数列的判定，通项公式求解，数列求和，考查变形构造、转化、计算能力．一般的形如a_n+1=pa_n+q型递推公式，均可通过两边加上一个合适的常数，变形构造出一个新的等比数列．