Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面是菱形，且，点是棱的中点，平面与棱交于点.

（1）求证： ；

（2）若，且平面平面，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）．

【解析】试题分析：（1）推导出，从而平面，由此能证明．
（2）取中点，连接， ，以为原点， 、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面与平面所成的二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：∵是菱形，∴，

又平面， 平面，

∴平面，

∵四点共面，且面面，

∴.

（2）解：取中点，连接， ，

∵，∴，

∵平面平面，平面平面，

∴面，

∴，在菱形中，∵， ， 是中点，

∴，

如图，以为原点， 、、所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，

由得， ， ， ， ，

， .

又∵，点是棱中点，∴点是棱中点，

∴， ， ，

设平面的法向量为，

则有， ，取，则.

∵平面，∴是平面的一个法向量，

，二面角的余弦值为，

∴平面与平面所成的二面角的余弦值为.