Question

【题目】设等差数列的前项和，且.

（1）求的通项公式；

（2）若不等式对所有的正整数都成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：（1）根据等差数列通项公式以及求和公式将条件化为关于首项与公差的方程组，解得．(2)先化简不等式： ，再分奇偶讨论：当为奇数时， ； 当为偶数时， ，最后根据基本不等式以及数列单调性确定实数的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）设公差为，则，∴．

∴的通项公式为．

（Ⅱ）， ， ；

则原不等式等价于对所有的正整数都成立．

∴当为奇数时， ； 当为偶数时， 恒成立

又∵，当且仅当时取等号，

所以当为奇数时， 的最小值为7，

当为偶数时， 时， 的最小值为，

∴不等式对所有的正整数都成立时，实数的取值范是