Question

（本小题满分12分）

四棱锥S－ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．

(Ⅰ)求证：MN∥平面SAD；

(Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明略，（Ⅱ）

【解析】

试题分析：要证明线面平行先寻求线线平行，由于M、N分别是AB、SC的中点，取的中点，连接

，然后证明四边形是平行四边形即可，第二步求二面角可用空间向量法，首先取、的中点、，连结OS，过作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，写出相关点的坐标，由于平面的法向量为，本题只需求平面的法向量，最后利用二面角公式 借助法向量坐标求出二面角的余弦值.

试题解析：(Ⅰ)如图，取的中点，连结，

则，且，，所以，且，所以四边形是平行四边形，则，由于平面，平面外，所以平面．

(Ⅱ)取的中点，连结，过作的垂线交于，分别以，，为轴，建立坐标系，，，，，，

设面的法向量为,

则有

令，，取面ABCD的法向量，

则，

所以二面角的余弦值为.

[解法二]:如图，取的中点，连结、，连结SH，由，且面⊥面，所以平面，易得，所以，则，所以，则有，所以是二面角的平面角，

设，则，，，，，

则，所以二面角的余弦值为．

考点：1.线面平行判定定理；2.二面角的求法；