Question

已知过点A（1，1）且斜率为-m（m＞0）的直线l与x轴、y轴分别交于P、Q，过P、Q作直线2x+y=0的垂线，垂足为R、S，求四边形PRSQ面积的最小值．

Answer 1

分析：设l的方程，求出P、Q的坐标，得到PR和QS的方程，利用平行线间的距离公式求出|RS|，
由四边形PRSQ为梯形，代入梯形的面积公式，再使用基本不等式可求四边形PRSQ的面积的最小值．

解答：解：设l的方程为y-1=-m（x-1），
则P（1+

1

m

，0），Q（0，1+m）．
从而可得直线PR和QS的方程分别为
x-2y-

m+1

m

=0和x-2y+2（m+1）=0．
又PR∥QS，
∴|RS|=

|2m+2+1+ 1 m |

5

=

3+2m+ 1 m

5

．又|PR|=

2+ 2 m

5

，
|QS|=

m+1

5

，
四边形PRSQ为梯形，
S_{四边形PRSQ}   ;=

1

2

[

2+ 2 m

5

+

m+1

5

]•

3+2m+ 1 m

5

=

1

5

（m+

1

m

+

9

4

）²-

1

80

≥

1

5

（2+

9

4

）²-

1

80

=3.6．
∴四边形PRSQ的面积的最小值为3.6．

点评：本题考查直线方程的应用，2条平行线间的距离公式的应用，使用基本不等式求式子的最小值．