Question

已知过点A（-1，1）的直线与椭圆

x2

8

+

y2

4

=1交于点B、C，当直线l绕点A（-1，1）旋转时，求弦BC中点M的轨迹方程．

Answer 1

分析：利用点差法来求弦的中点问题．可先设弦BC的中点M以及B，C点的坐标，把直线BC斜率分别用A点坐标以及M点坐标表示，化简即可得含x，y的方程，即弦BC的中点M的轨迹方程．

解答：解：设B（x₁，y₁）、C（x₂，y₂）、M（x，y），直线BC：y-1=k（x+1）
由于椭圆

x2

8

+

y2

4

=1可化为：x²+2y²=8．
则x₁²+2y₁²=8①，x₂²+2y₂²=8②
①-②得：（x₁+x₂）（x₁-x₂）+2（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0
整理得：

2(y1+y2)

x1+x2

•

y1-y2

x1-x2

=-1
化简得：k=

y1-y2

x1-x2

=-

2y

x

，代入y-1=k（x+1），
整理得：x²+2y²+x-2y=0，即为BC的中点M的轨迹方程．

点评：本题主要考查了点差法求弦中点轨迹方程问题，属于圆锥曲线的常规题．