Question

11．求适合方程tan（19x）°=$\frac{cos99°+sin99°}{cos99°-sin99°}$的最小正整数x的值．

Answer 1

分析 利用两角和与差的正切函数公式化简已知可得tan（19x）°=tan144°，从而可得19x=k180°+144°，k∈Z，解得：x=$\frac{k180°+144°}{19}$，k∈Z，由题意x＞0，可得k＞0，k∈Z，由k=1依次试解即可．

解答 解：∵tan（19x）°=$\frac{cos99°+sin99°}{cos99°-sin99°}$=$\frac{1+tan99°}{1-tan99°}$=tan（45°+99°）=tan144°，
∴19x=k180°+144°，k∈Z，解得：x=$\frac{k180°+144°}{19}$，k∈Z，
∵x=$\frac{k180°+144°}{19}$＞0，可得k＞0，k∈Z，
∴当k=1时，x=$\frac{324°}{19}$；
当k=2时，x=$\frac{504°}{19}$；
当k=3时，可得：x=$\frac{684°}{19}$=36满足条件．
故适合方程tan（19x）°=$\frac{cos99°+sin99°}{cos99°-sin99°}$的最小正整数x的值为36．

点评 本题主要考查了两角和与差的正切函数公式，考查了正切函数公式的图象和性质，属于中档题．