Question

已知数列{a_n}，{b_n}中，对任何正整数n都有：．
（1）若数列{b_n}是首项为1和公比为2的等比数列，求数列{a_n}的通项公式；
（2）求证：．

Answer 1

【答案】分析：（1）依题意，数列{b_n}的通项公式为，把已知式中的n换成n-1，两式相减求得a_n=n，经检验对第一项也成立，而得到数列{a_n}的通项公式是a_n=n．
（2）由（1）知，a_nb_n=n•2^n-1，故＜+++…+=1+-＜．
解答：解：（1）依题意，数列{b_n}的通项公式为，
由，
可得（n≥2），
两式相减可得，即a_n=n．
当n=1时，a₁=1，从而对一切n∈N^*，都有a_n=n．
所以数列{a_n}的通项公式是a_n=n．
（2）证明：由（1）知，a_nb_n=n•2^n-1，
故=+++…+＜+++…+（n≥3）．
∴＜+++…+=1+=1+-＜．
即成立．
点评：本题主要考查等比数列的通项公式，等比数列的前n项和公式，用放缩法证明不等式，属于中档题．