Question

已知数列{a_n}满足：a₁=1，na_n+1=2（n十1）a_n+n（n+1），（n∈N^*），
（I）若bn=

an

n

+1，试证明数列{b_n}为等比数列；
（II）求数列{a_n}的通项公式a_n与前n项和Sn．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用数列递推式，证明b_n+1=2b_n，即可证明数列{b_n}为等比数列；
（II）利用bn=

an

n

+1，可数列{a_n}的通项公式a_n，利用错位相减法可求数列的和．

解答：（Ⅰ）证明：∵na_n+1=2（n+1）a_n+n（n+1），∴

an+1

n+1

=

2an

n

+1，…（2分）
∴

an+1

n+1

+1=

2an

n

+2=2(

an

n

+1)，即b_n+1=2b_n，
又b₁=2，所以{b_n}是以2为首项，2为公比的等比数列．…（6分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知bn=2n，∴

an

n

+1=2n，∴an=n(2n-1)，…（8分）
∴

S

n

=1×(2-1)+2×(22-1)+3×(23-1)+…+n(2n-1)=1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ-（1+2+3+…+n）=1×2+2×22+3×23+…+n•2n-

n(n+1)

2

．…（10分）
令Tn=1×2+2×22+3×23+…+n•2n，
则2Tn=1×22+2×23+3×24+…+n•2n+1，
两式相减得：-Tn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1，Tn=2(1-2n)+n•2n+1=(n-1)•2n+1+2．…（12分）
∴Sn=(n-1)•2n+1+2-

n(n+1)

2

．…（13分）

点评：本题考查数列递推式，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，正确运用求和方法是关键．