Question

已知向量

OA

=(λcosα，λsinα)(λ≠0)，

OB

=(-sinβ，cosβ)，其中O为坐标原点，若|

BA

|≥2|

OB

|对任意的实数α，β都成立，则实数λ的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：先求出A、B两点的坐标，再求

BA

的坐标表示，代入已知的不等式进行化简，最后利用三角函数的范围求出λ的范围．

解答：解：由题意知，A（λcosα，λsinα），B（-sinβ，cosβ），
∴

BA

=（λcosα+sinβ，λsinα-cosβ），∵|

BA

|≥2|

OB

|恒成立，
∴（λcosα+sinβ）（λcosα+sinβ）+（λsinα-cosβ）（λsinα-cosβ）≥4，
λ²+1+2λcosαsinβ-2λsinαcosβ≥4，
λ²+2λsin（β-α）-3≥0，
∵|sin（β-α）|≤1，∴λ²+2λ-3≥0且λ²-2λ-3≥0，
解得，λ≤-3或λ≥1 且λ≤-1或λ≥3
∴λ≤-3或λ≥3．
故答案为：（-∞，-3]∪[3，+∞）．

点评：本题考查了向量的坐标运算，包括求向量以及向量的长度，在化简中用到了两角和差的正弦公式及正弦值的范围，来解决恒成立问题．