Question

在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2，2)，其焦点F在x轴上．

(1)求抛物线C的标准方程；
(2)求过点F，且与直线OA垂直的直线的方程；
(3)设过点M(m，0)(m>0)的直线交抛物线C于D、E两点，ME＝2DM，记D和E两点间的距离为f(m)，求f(m)关于m的表达式．

Answer 1

（1）y²＝2x（2）x＋y－＝0（3）(m>0)

(1)由题意，可设抛物线C的标准方程为y²＝2px.因为点A(2，2)在抛物线C上，所以p＝1.因此抛物线C的标准方程为y²＝2x.
(2)由(1)可得焦点F的坐标是，又直线OA的斜率为＝1，故与直线OA垂直的直线的斜率为－1，因此所求直线的方程是x＋y－＝0.

(3)(解法1)设点D和E的坐标分别为(x₁，y₁)和(x₂，y₂)，直线DE的方程是y＝k(x－m)，k≠0.
将x＝＋m代入y²＝2x，有ky²－2y－2km＝0，解得y_1，2＝.
由ME＝2DM知1＋＝2(－1)，化简得k²＝.
因此DE²＝(x₁－x₂)²＋(y₁－y₂)²＝(y₁－y₂)²＝(m²＋4m)，所以f(m)＝ (m>0)．
(解法2)设D，E.
由点M(m，0)及＝2，得t²－m＝2，t－0＝2(0－s)．因此t＝－2s，m＝s².所以f(m)＝DE＝ (m>0)．