Question

已知定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；并判定函数f（x）单调性（不必证明）．
（2）若对于任意的t∈R，不等式f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）由题意知f（0）=0求出b，再由奇函数的定义求出b；
（2）利用奇函数的性质转化为一元二次不等式，借助与一元二次函数的关系进行判断．

解答： 解：∵定义域为R的函数f（x）=

-2x+b

2x+1+a

是奇函数，
∴

f(0)=0 f(1)=f(-1)

，
即

-20+b 20+1+a =0 -21+b 21+1+a = -21+b 2-1+1+a

化简，得

-1+b 2+a =0 -2+b 4+a =- - 1 2 +b 1+a

解得，

a=2 b=1

∴a的值是2，b的值是1．
∴f（x）是R上的减函数；
（3）由f（t²-2t）+f（2t²-k）＜0，得f（t²-2t）＜-f（2t²-k），
∵f（x）是奇函数，∴f（t²-2t）＜f（k-2t²），
由（2）知，f（x）是减函数，∴原问题转化为t²-2t＞k-2t²，
即3t²-2t-k＞0对任意t∈R恒成立，
∴△=4+12k＜0，解得k＜-

1

3

，
所以实数k的取值范围是：k＜-

1

3

，

点评：本题考查函数的奇偶性、单调性及不等式恒成立问题，定义是解决单调性问题的基本方法，而恒成立问题往往转化为函数最值问题解决．