Question

已知四边形ABCD是矩形，BC=

2

AB，将△ABC沿着对角线AC翻折，得到△AB₁C，设顶点B₁在平面ABCD上的射影为O，若点O恰好落在边AD上．
（1）求证：AB₁⊥平面B₁CD；
（2）求二面角B₁-AC-D的大小．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定

专题：空间角

分析：（1）由面面垂直的判定定理得平面AB₁D⊥平面ACD，从而CD⊥AD，由线面垂直得AB₁⊥CD，由矩形性质得AB₁⊥CB₁，由此能证明AB₁⊥平面B₁CD．
（2）作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，当点O恰好落在线段AD上时，点O与点F重合，∠B₁EF为二面角B₁-AC-D的平面角，由此能求出二面角B₁-AC-D的大小．

解答： （1）证明：∵点B₁在平面ABCD上的射影为O，点O恰好落在边AD上，
∴平面AB₁D⊥平面ACD，又CD⊥AD，
∴CD⊥平面AB₁D，
∴AB₁⊥CD，
又∵AB₁⊥CB₁，
∴AB₁⊥平面B₁CD．

（2）解：作BF⊥AC，交AC于E，交AD于F，
设AB=1，则BC=

2

，BE=

6

2

，EF=

6

6

，
当点O恰好落在线段AD上时，点O与点F重合，
又∵B₁E⊥AC，EF⊥AC，
∴∠B₁EF为二面角B₁-AC-D的平面角，
∴cos∠B₁EF=

EO

B1E

=

1

2

，
∴∠B₁EF=60°，
故二面角B₁-AC-D的大小为60°．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，涉及到线面垂直、面面垂直的性质定理和判定理的应用，是中档题．