Question

以A表示值域为R的函数组成的集合，B表示具有如下性质的函数φ（x）组成的集合：对于函数φ（x），存在一个正数M，使得函数φ（x）的值域包含于区间[-M，M]．例如：当φ₁（x）=x³，φ₂（x）=sinx时，φ₁（x）∈A，φ₂（x）∈B．现有定义域均为D的函数f（x），g（x），给出下面结论：
①如果f（x）∈B，那么f（x）可能没有最大值；
②如果f（x）∈A，g（x）∈A，那么一定有f（x）+g（x）∈A；
③如果f（x）∈A，g（x）∈B，那么一定有f（x）+g（x）∈A；
④如果f（x）∈A，那么对任意b∈R，总存在a∈D，使得f（a）=b．
其中正确的有

 

（写出所有正确结论的序号）．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：根据题中的新定义，结合函数值域的概念，可判断出命题①②③④是否正确，从而得到本题的结论．

解答： 解：对于命题①：若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[-M，M]．
∴-M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足-2＜f（x）＜5，则有-5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题①如果f（x）∈B，那么f（x）可能没有最大值，是真命题；
对于命题②：若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈A，
令f（x）=x，g（x）=-x，
则f（x）+g（x）=0恒成立．
即f（x）+g（x）∈B．
∴命题②是假命题．
对于命题③：若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）+g（x）的值域为R．
即f（x）+g（x）∈A．
∴命题③是真命题．
对于命题④：“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，故对任意b∈R，总存在a∈D，使得f（a）=b，
∴命题④是真命题；
故答案为：①③④．

点评：本题考查了函数值域的概念、基本不等式、充要条件，还考查了新定义概念的应用和极限思想．本题计算量较大，也有一定的思维难度，属于难题．