Question

【题目】已知椭圆的左，右焦点分别为F1， F2，直线l1过点F1且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M.

(1)求点M的轨迹的方程；

（2）设与x轴交于点Q， 上不同于点Q的两点R、S，且满足，求的取值范围．

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】试题分析：

（1）由题意结合抛物线的定义可知动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，轨迹方程为.

（2）由题意可得，设，由向量垂直的充要条件可得，则，由距离公式可得，结合二次函数的性质可得的取值范围是.

试题解析：

（1）因为，

所以动点M到定直线的距离等于它到定点的距离，

所以动点M的轨迹是以l1为准线，F2为焦点的抛物线，

所以M的轨迹的方程为.

（2），设，则，

因为，所以，因为，

，解得，

故，

当且仅当时等号成立，

，

又因为，所以当，即时，取最小值，

故的取值范围是.