题目内容
【题目】武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为
，游客之间选择意愿相互独立.
（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量
，求的分布列与数学期望；
（2）（i）若从游客中随机抽取
人，记总分恰为分的概率为
，求数列
的前10项和；
（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为
分的概率为
，探讨与
之间的关系，并求数列
的通项公式.
【答案】（1）见解析（2）（i）
（ⅱ）
，
【解析】
（1）判断出
可能取值为3，4，5，6，分别求出概率，进而求出其数学期望。
（2）（i）由题可得首项为
，公比为的等比数列，并求其前10项和。（ⅱ）根据
与
之间的关系
，用待定系数法得，进一步就可求出
的通项公式。
解：（1）可能取值为3，4，5，6.
，
，
，
.
∴的分布列为
| 3 | 4 | 5 | 6 |
|
|
|
|
|
∴
（2）（i）总分恰为
分的概率为
，
∴数列
是首项为，公比为的等比数列，
前10项和
.
（ⅱ）已调查过的累计得分恰为
分的概率为，得不到分的情况只有先得
分，再得2
分，概率为
，
.
所以，即
∴.
∴
，
∴
.
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