题目内容
设f（x）=
（a，b，c∈Z）满足f（-x）=-f（x），且在[1，+∞）上单调递增．若有f（1）=2，f（2）＜3成立．
（1）求a，b，c的值；
（2）用定义证明f（x在（-1，0））上是减函数．
（1）解：∵f（-x）=-f（x），
∴
=-
∴bx+c=bx-c，∴c=0
∵f（1）=2，∴a+1=2b
∴a=2b-1
∵f（2）＜3
∴
＜3
若b＞0，则4a+1＜6b
将a=2b-1代入，可得2b＜3，∴b＜
∵a，b∈Z，∴b=1，a=1
若b＜0，则b＞，不成立
∴a=1，b=1，c=0
（2）证明：由（1）知，
=
设-1＜x1＜x2＜0，则f（x1）-f（x2）=（
）-（
）=
∵-1＜x1＜x2＜0，
∴
∴
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x在（-1，0））上是减函数．
分析：（1）利用f（-x）=-f（x），求出c的值，利用f（1）=2，f（2）＜3，即可求得b，c的值；
（2）利用单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论的方法，即可证明．
点评：本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查函数单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
∴
=-∴bx+c=bx-c，∴c=0
∵f（1）=2，∴a+1=2b
∴a=2b-1
∵f（2）＜3
∴
＜3 若b＞0，则4a+1＜6b
将a=2b-1代入，可得2b＜3，∴b＜
∵a，b∈Z，∴b=1，a=1
若b＜0，则b＞
，不成立 ∴a=1，b=1，c=0
（2）证明：由（1）知，
=设-1＜x1＜x2＜0，则f（x1）-f（x2）=（
）-（）=∵-1＜x1＜x2＜0，
∴
∴
∴f（x1）-f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴f（x在（-1，0））上是减函数．
分析：（1）利用f（-x）=-f（x），求出c的值，利用f（1）=2，f（2）＜3，即可求得b，c的值；
（2）利用单调性的定义，按照取值、作差、变形定号、下结论的方法，即可证明．
点评：本题考查函数奇偶性与单调性的结合，考查函数单调性的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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