Question

例2：（1）设不等式2（log

1

2

x）²+9log

1

2

x+9≤0时，求f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)的最大值和最小值．
（2）设f（x）=|lgx|，a、b是满足f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)的实数，其中0＜a＜b
①求证：a＜1＜b；②求证：2＜4b-b²＜3．

Answer 1

分析：（1）、由不等式2（log

1

2

x）²+9log

1

2

x+9≤0，可知-3≤log

1

2

x≤-

3

2

，从而导出

3

2

≤log2x≤3．再由f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)=（log₂x-1）•（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1可以导出f（x）最大值和最小值．
（2）：①由f（x）=|lgx|，f（a）=f（b）可知|lga|=|lgb|．再由0＜a＜b，y=lgx是增函数，可知-lga=lgb，由此可证a＜1＜b．
②由f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)可知

1

a

=b=

(a+b)2

4

，由此可证2＜4b-b²＜3．

解答：解：（1）、∵不等式2（log

1

2

x）²+9log

1

2

x+9≤0，∴-3≤log

1

2

x≤-

3

2

，∴2

2

≤ x≤8．∴

3

2

≤log2x≤3．
∴f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)=（log₂x-1）•（log₂x-3）=（log₂x）²-4log₂x+3=（log₂x-2）²-1．
故当log₂x=2时，f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)的最小值是-1；当log₂x=0时，f(x)=log2(

x

2

)•(log2

x

8

)的最大值是3．
（2）、①证明：∵f（x）=|lgx|，f（a）=f（b），∴|lga|=|lgb|．
∵0＜a＜b，y=lgx是增函数，∴-lga=lgb，故a＜1＜b．
②证明：∵-lga=lgb，∴lg

1

a

=lgb，∴ab=1，
∵0＜a＜b，∴

a+b

2

＞

ab

=1．
∵f(a)=f(b)=2f(

a+b

2

)，∴lg

1

a

=lgb=lg(

a+b

2

)2，∴

1

a

=b=

(a+b)2

4

．
∴4b=(

1

b

+b)2=

1

b2

+b2+2，∴4b-b2= 

1

b2

+2，∵b＞1，∴2＜4b-b²＜3．

点评：注意对数的性质运用及对数方程的解法．