Question

已知向量

m

=（2cosx，-cos（x+

π

12

）），

n

=（cosx，2sin（x+

π

12

）），记f（x）=

m

•

n

．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递减区间；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f(

A

2

)=1，a=2，b=

3

，求sinC的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）由三角函数中的恒等变换应用可得函数解析式为f（x）=1-sin（2x+

π

6

），可求T，由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，可解得单调递减区间．
（Ⅱ）由f（

A

2

）=1-sin（A+

π

6

）=1，可解得A，cosA，由正弦定理可得sinB，cosB，从而可求sinC=sin（A+B）的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=

m

•

n

=2cos²x-2sin（x+

π

12

）cos（x+

π

12

）=1-sin（2x+

π

6

），
∴T=

2π

2

=π，
∴由-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z，可解得：x∈[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z，
∴单调递减区间为：[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．
（Ⅱ）∵f（

A

2

）=1-sin（A+

π

6

）=1，可解得：A+

π

6

=kπ，k∈Z，
∴由A为三角形内角，可得A=

5π

6

，cosA=-

3

2

．
∴由正弦定理可得：sinB=

bsinA

a

=

3 × 1 2

2

=

3

4

，cosB=

1-sin2B

=

13

4

，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=

1

2

×

13

4

-

3

2

×

3

4

=

13 -3

8

．

点评：本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角函数中的恒等变换应用，正弦函数的图象和性质，属于基础题．