Question

（本小题满分14分）
设数列的前项和为，对任意的正整数，都有成立，记。
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，设数列的前项和为，求证：对任意正整数都有；
（Ⅲ）设数列的前项和为。已知正实数满足：对任意正整数恒成立，求的最小值。

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）证明见解析。
（Ⅲ）4

本小题主要考查数列、不等式等基础知识、考查化归思想、分类整合思想，以及推理论证、分析与解决问题的能力。
（Ⅰ）当时，
又

数列成等比数列，其首项，公比是

……………………………………..3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知

=
又
当
当

（Ⅲ）由（Ⅰ）知
一方面，已知恒成立，取n为大于1的奇数时，设
则


>
对一切大于1的奇数n恒成立
只对满足的正奇数n成立，矛盾。
另一方面，当时，对一切的正整数n都有
事实上，对任意的正整数k，有



当n为偶数时，设
则
<
当n为奇数时，设
则
<
对一切的正整数n，都有
综上所述，正实数的最小值为4………………………….14分