Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数），为的导函数，且.

（1）求实数的值；

（2）若函数在处的切线经过点，求函数的极值；

（3）若关于的不等式对于任意的恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）函数的极小值为，极大值为；（3）.

【解析】

（1）求出函数的导数，由，可求出实数的值；

（2）利用导数求出函数在处的切线方程，将点代入切线方程，可求出实数的值，然后利用导数求出函数的极值点，并列表分析函数的单调性，由此可得出函数的极小值和极大值；

（3）方法1：由，得，，然后分和两种情况讨论，在时可验证不等式成立，在时，由参变量分离法得，并构造函数，并利用导数求出函数在区间上的最小值，由此可得出实数的取值范围；

方法2：解导数方程，得出，，然后分，，，和五种情况讨论，分析函数在区间上的单调性，求出函数的最大值，再解不等式可得出实数的取值范围.

（1）因为，所以，

又因为，所以，解得.

（2）因为，所以.

因为，所以.

因为，函数在处的切线方程为且过点，

即，解得.

因为，令，得，列表如下：

		极大值		极小值

所以当时，函数取得极小值，

当时，函数取得极大值为；

（3）方法1：因为在上恒成立，

所以在上恒成立.

当时，成立；

当时，恒成立，记，，

则.

令，，

则，所以函数在区间上单调递增，

所以，即在区间上恒成立.

当，令，得，

所以，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

所以，所以，，

因此，实数的取值范围是；

方法2：由（1）知，，

所以.

令，得，.

①当时，即时，函数在区间上单调递减，

由题意可知，满足条件；

②当时，即时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

由题意可知，解得；

③当时，即时，

函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，

由题意可知，解得，所以；

④当时，即时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

由题意可知，解得.

又因为，所以；

⑤当时，即时，

函数在上单调递减，上单调递增，在上单调递减，

由题意可知，即.

令，则，设，

则，所以，函数在区间上单调递增，

又因为时，，所以在区间上恒成立，所以.

综上，，因此，实数的取值范围是.