Question

【题目】如图，四棱锥中，四边形是矩形，，，为正三角形，且平面平面，、分别为、的中点.

（1）证明：平面；

（2）求几何体的体积.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）由题可知，根据三角形的中位线的性质，得出，根据矩形的性质得出，所以，再利用线面平行的判定定理即可证出平面；

（2）由于平面平面，根据面面垂直的性质，得出平面，从而得出到平面的距离为，结合棱锥的体积公式，即可求得结果.

解：（1）∵，分别为，的中点，

∴，

∵四边形是矩形，∴，∴，

∵平面，平面，

∴平面.

（2）取，的中点，，连接，，，，则，

由于为三棱柱，为四棱锥，

∵平面平面，∴平面，

由已知可求得，

∴到平面的距离为，

因为四边形是矩形，，，

，

设几何体的体积为，

则，

∴，

即：.