Question

【题目】已知函数

（1）若函数在上递减，在上递增，求实数的值.

（2）若函数在定义域上不单调，求实数的取值范围.

（3）若方程有两个不等实数根，求实数的取值范围，并证明.

Answer 1

【答案】（1）1（2）或. （3），见解析

【解析】

（1）由题意可得是函数的极大值点，由即可得解.

（2）根据恒成立思想先求出在定义域上单调时的的取值范围，取补集即可得解；

（3）分离常数可得，转化为函数和的图像有两个交点，通过求导即得函数的图像与性质，结合图像即可得解.

（1）由于函数函数在上递增，在上递减，由单调性知，是函数的极大值点，无极小值点.所以

经验证成立.

（2）假设函数在定义域上单调，则有或在上恒成立

故只有使在上恒成立

即在上恒成立

令由图形（数形结合）可得：

故：函数在定义域上不单调时或.

（3）令，

当时，，单调递减；

当时，，单调递增；

故在处取得最小值为

又当，由图象知：

不妨设，则有，

令

在上单调递增，故

即，