Question

设函数，其中.

（I）解不等式；

（II）求的取值范围，使函数在区间上是单调函数.

 

Answer 1

答案：
解析：

思路1：（I）不等式即 ， 由此得，即，其中常数. 所以，原不等式等价于 即                                                                                 所以，当时，所给不等式的解集为； 当时，所给不等式的解集为.                                （II）在区间上任取，，使得<. .               （i）     当时， ∵， ∴ ， 又， ∴， 即. 所以，当时，函数在区间上是单调递减函数.                  （ii）当时，在区间上存在两点，，满足 ，，即，所以函数在区间上不是单调函数. 综上，当且仅当时，函数为区间上的单调函数.             思路2：                                                           (i)当时，有 ， 此时.函数在区间（—∞,+∞）上是单调递减函数. 但f(0)=1,因此，当且仅当x≥0时 f(x)≤1                                              (ii)当０＜a＜1时： 解不等式得，f(x)在区间上是单调递减函数； 同理，解不等式得，f(x)在区间上是单调递增函数. 解方程f(x)=1得  . 因为， 所以，当且仅当. 综上：(Ⅰ)当a≥1时，的解集为< /span>； 当０＜a＜1时 的解集为. (Ⅱ)当且仅当a≥1时，f(x)在区间[0,+∞]上是单调函数.