Question

【题目】以椭圆的离心率为，以其四个顶点为顶点的四边形的面积等于．

1求椭圆的标准方程；

2过原点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右顶点，直线分别与轴交于点，问：以为直径的圆是否恒过轴上的定点？若恒过轴上的定点，请求出该定点的坐标；若不恒过轴上的定点，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2），．

【解析】

（1）由题意可得，从而解得椭圆的标准方程；（2）易知，设，，，从而可得，且，，，从而化简可得，，假设存在满足题意的轴上的定点，化简可得，再结合解得结果.

（1）依题意，得，解得

故椭圆的标准方程为

（2），设，，

则由题意，可得

由椭圆对称性可知：

，

因为三点共线，所以，解得

同理，可得

假设存在满足题意的轴上的定点，则有，即

因为，

所以，即

整理得，

又

解得或．

故以为直径的圆恒过轴上的定点，